Топ-100
Back

ⓘ Бијекција. Во математиката, бијективна функција или бијекција е функција f: A → B која е и инјективна и сурјективна. Тоа значи: за секој елемент b во кодоменот ..




Бијекција
                                     

ⓘ Бијекција

Во математиката, бијективна функција или бијекција е функција f: A → B која е и инјективна и сурјективна. Тоа значи: за секој елемент b во кодоменот B постои точно еден елемент a од доменот A таков што f = b. Бијекцијата исто така се нарекува 1-1 кореспонденција.

Терминот бијективност и сродните термини сурјективност и инјективност беа воведени од страна на Никола Бурбаки Nicholas Bourbaki и група други, воглавно француски математичари од 20 век, кој почнувајќи од 1935 година напиша серија книги за презентирање на модерната напредна математика.

                                     

1. Основни својства

Формално имаме:

f: A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} е бијективна функција ако за секој b ∈ B {\displaystyle b\in B} постои точно еден a ∈ A {\displaystyle a\in A} таков што f a = b. {\displaystyle fa=b\.}

Елементот a {\displaystyle a} се вика претслика на елементот b {\displaystyle b}.

  • Функција е бијекција ако и само ако секој елемент во кодоменот има точно една претслика во доменот. Види и: Сурјективна функција, Инјективна функција.

Забелешка: Сурјекција значи минимум една претслика. Инјекција значи максимум една претслика. Бијекција значи точно една претслика.

                                     

2. Кардиналност

Кардиналноста на едно множество е мерка на бројот на елементите во множеството. На пример, ако A ={X,Y,Z,W}, тогаш кардиналноста на А е 4 и пишуваме # A =4. Кардиналноста на едно множество се одредува преку бијекција помеѓу даденото множество и множество со позната кардиналност.

  • Ако кардиналноста на A и B е еднаква, но не е конечен број тогаш ова не важи.
  • Ако кардиналноста на A и B е конечен број, # A =# B = n тогаш при доказ дека функцијата f: A → B e бијекција доволно е да се докаже дека е сурјекција или да се докаже дека е инјекција.
  • Две множества ја имаат истата кардиналност ако постои бијекција помеѓу нив. Види кардиналност.

Пример: Нека А = B =ℕ. Идентичната функција f x= x e бијекција. Функцијата f x=2 x е инјекција која не е сурјекција. Функцијата f x=roundx /2 е сурјекција која не е инјекција каде што roundz го заокружува z така што f 1=round1/2=round0.5=1, f 2=round2/2=1, f 3=round3/2=round1.5=2.

                                     

3. Бијекции и инверзни функции

  • Бијекцијата може да се преврти со обратно насочување на сите стрелки од пресликувањето. Новата функција се вика инверзна функција на првобитната функција. Види инверзна функција.

Формално: Нека f: A → B е бијективна функција. Инверзната функција на бијективна функција f е бијективна функција g: B → A дефинирана со: ако f a= b, тогаш g b= a. Значи, сите стрелки на пресликување се обратно насочени.

  • Една функција има инверзна функција ако и само ако е бијекција.
  • Инверзна функција на инверзна функција е првобитната функција)

Забелешка: Нотацијата за инверзна функција на функцијата f е проблематична. Имено, со

f − 1 x {\displaystyle f^{-1}x} се означува инверзната функција на функцијата f, а со x − 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} се означува реципрочната вредност на бројот x.
  • Една од најважните особини на бијективните функции е тоа дека инверзна релација на бијективна функција е функција, т.н. инверзна функција. Инверзните функции како што се квадратен корен на квадратна функција, логаритамска функција на експоненцијална функција. имаат многу голема улога во математиката.


                                     

4.1. Примери Елементарни функции

Нека f x:ℝ→ℝ е реална функција y од реален аргумент x. Значи влез и излез се броеви.

  • Алгебарско толкување: функцијата f е бијекција ако за кој било y o постои x o таков што y o = f x o и ако f x o= f x 1 значи x o = x 1.
  • Графичко толкување: функцијата f е бијекција ако секоја хоризонтала права го пресекува графиконот на f во точно една точка.

Пример: Линеарната функција на која било коса права е бијективна, односно y = ax + b каде што a ≠0 е бијекција. Види линеарна функција. Слика 1.

Дискусија: Види го соодветниот пример кај сурјекција и инјекција. Инверзна функција: y =x - b/ a

Пример: Кубната полиномна функција f x= x 3 е бијекција. Слика 2 и Слика 5: тенката жолта крива.

Инверзна функција е 3-ти корен, односно

f x= ∛ x. Слика 5: дебелата зелена крива.

Пример: Квадратната функција f x = x 2 не е бијекција од ℝ→ℝ. Слика 3. Не е сурјекција. Не е инјекција. Меѓутоа со ограничување на доменот и кодоменот до множеството на ненегативни броеви "0,+∞) се добива бијекција види примери подолу.

                                     

4.2. Примери Бијекции и нивните инверзни функции

Нека f x: A → B каде што A и B се подмножества на ℝ.

  • Графиконите на меѓусебно инверзни функции се симетрични во однос на правата y = x. Види и Инверзна функција.
  • Да претпоставиме дека f не е бијекција. За кое било x каде што изводот на f постои и не е нула, постои број δ> 0 таков да ограничувањето на f на δ-околината на x е бијекцијата на сликата на околината.

Пример: Квадратната функција дефинирана на ограничениот домен и кодомен "0,+∞)

f x: "0, + ∞) → "0, + ∞) {\displaystyle fx:"0,+\infty)\,\,\rightarrow \,\,"0,+\infty)} каде што f x = x 2 {\displaystyle fx=x^{2}}

е бијекција. Слика 6: тенката жолта крива.

Пример: Функцијата квадратен корен дефинирана на ограничуваниот домен и кодомен "0,+∞)

f x: "0, + ∞) → "0, + ∞) {\displaystyle fx:"0,+\infty)\,\,\rightarrow \,\,"0,+\infty)} каде што f x = x {\displaystyle fx={\sqrt {x}}}

е бијекцијата дефинирана како инверзната функција на квадратната функција: x 2. Слика 6: дебелата зелена крива.

  • кодоменот на функцијата
  • машината на функцијата
  • доменот на функцијата

Пример: Нека машината биде f x= x ².

  • Оваа машина со домен=ℝ и кодомен=ℝ не е инјекција и не е сурјекција. Меѓутоа,
  • оваа иста машина со домен="0,+∞) и кодомен="0,+∞) е и инјекција и сурјекција, па затоа и бијекција.
f x: R → 0, + ∞ {\displaystyle fx:\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,0,+\infty} каде што f x = a x, a > 1 {\displaystyle fx=a^{x}\,\,\,a> 1}

е бијекција. Слика 4: тенката жолта крива земено е a =10.

Пример: Логаритамската функција со основа a дефинирана на ограничуваниот домен 0,+∞ и на кодоменот ℝ

f x: 0, + ∞ → R {\displaystyle fx:0,+\infty\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R} } каде што f x = log a ⁡ x, a > 1 {\displaystyle fx=\log _{a}x\,\,\,a> 1}

е бијекцијата дефинирана како инверзната функција на експоненцијалната функција: a x. Слика 4: дебелата зелена крива земено е a =10.

                                     

5. Надворешни врски

  • "Injective, Surjective, Bijective" англиски. 2013. Посетено на 1 декември 2013. интерактивен квиз
  • "Injectivity, Surjectivity" англиски. Wolfram Alpha. Посетено на 1 декември 2013. интерактивно
                                     
  • функцијата е инверзибилна акко е бијекција Сурјективно но неинјективно пресликување Инјективно но несурјективно пресликување Бијекција На пр. функцијата f x
  • функција. Две множества имаат иста кардиналност ако и само ако постои бијекција меѓу елементите од двете множества. Во случајот на конечните множества
  • card A или A. Две множества A и B имаат иста кардиналност ако постои бијекција т.е. инјективна и сурјективна функција од A во B. Ваквите множества се
  • Тој е и првиот кој ја ценел важноста на еден на еден кореспонденцијата бијекција во теоријата на множествата. Овој концепт го искористил за дефинирање
  • правата е осна симетрија рефлексија огледање Осната симетрија е бијекција а воедно и инволуциона трансформација. Кај осната симетрија, должината

Users also searched:

комплексна низа, математичка индукција, низи,

...
...
...