Топ-100
Back

ⓘ Извод од производ. При диференцирање на производ не се раководиме според принципот по кој диференцираме збир или разлика. Правилото при диференцирање на збир ил ..




                                     

ⓘ Извод од производ

При диференцирање на производ не се раководиме според принципот по кој диференцираме збир или разлика. Правилото при диференцирање на збир или разлика е: извод од збир е збир на изводи, што не е случај со производот.

                                     

1. Како се бара извод од производ на две функции?

Тврдењето ќе го дадеме формално, во вид на теорема:

Нека f {\displaystyle \ f} и g {\displaystyle \ g} се реални функции од една променлива, определени на интервалот P {\displaystyle \ P} и диференцијабилни во точка x 0 ∈ P {\displaystyle \ x_{0}\in P}. Тогаш и нивниот производ f ⋅ g {\displaystyle \ f\cdot g} е диференцијабилен во точката x 0 ∈ P {\displaystyle \ x_{0}\in P} и при тоа важи:

f ⋅ g ′ x 0 = f ′ x 0 ⋅ g x 0 + f x 0 ⋅ g ′ x 0 {\displaystyle \ f\cdot g^{\prime }x_{0}=f^{\prime }x_{0}\cdot gx_{0}+fx_{0}\cdot g^{\prime }x_{0}}

Дополнително ако посочените функции се диференцијабилни во секоја точка од интервалот P {\displaystyle \ P}, тогаш и нивниот производ е диференцијабилен на целиот интервал и формално се бележи:

f ⋅ g ′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ {\displaystyle \ f\cdot g^{\prime }=f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }}
                                     

2. Доказ

Ќе дадеме и формален доказ. Нека се исполнети условите на теоремата, т.е. нека постојат изводите на функциите f {\displaystyle \ f} и g {\displaystyle \ g} во точката x 0 ∈ P {\displaystyle \ x_{0}\in P}. Тогаш, според дефиницијата на извод имаме:

f ′ x = lim x → x 0 f x − f x 0 x − x 0 {\displaystyle f^{\prime }x=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {fx-fx_{0}}{x-x_{0}}}} g ′ x = lim x → x 0 g x − g x 0 x − x 0 {\displaystyle g^{\prime }x=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {gx-gx_{0}}{x-x_{0}}}}

Бидејќи по дефиниција: f ⋅ g x = f x g x {\displaystyle \ f\cdot gx=fxgx}, имаме:

f ⋅ g ′ x = lim x → x 0 f g x − f g x 0 x − x 0 = lim x → x 0 f x g x − f x 0 g x 0 x − x 0 = {\displaystyle f\cdot g^{\prime }x=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {fgx-fgx_{0}}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {fxgx-fx_{0}gx_{0}}{x-x_{0}}}=} = lim x → x 0 f x g x − f x 0 g x 0 + g x f x 0 − g x f x 0 x − x 0 = {\displaystyle =\lim _{x\to x_{0}}{\frac {fxgx-fx_{0}gx_{0}+gxfx_{0}-gxfx_{0}}{x-x_{0}}}=} = lim x → x 0 g x f x − f x 0) + f x 0 g x − g x 0) x − x 0 = {\displaystyle =\lim _{x\to x_{0}}{\frac {gx\leftfx-fx_{0}\right)+fx_{0}\leftgx-gx_{0}\right)}{x-x_{0}}}=} = lim x → x 0 f x − f x 0 x − x 0 ⋅ lim x → x 0 g x + f x 0 ⋅ lim x → x 0 g x − g x 0 x − x 0 = {\displaystyle =\lim _{x\to x_{0}}{\frac {fx-fx_{0}}{x-x_{0}}}\cdot \lim _{x\to x_{0}}gx+fx_{0}\cdot \lim _{x\to x_{0}}{\frac {gx-gx_{0}}{x-x_{0}}}=} = f ′ x 0 ⋅ g x 0 + f x 0 ⋅ g ′ x 0 ◼ {\displaystyle =f^{\prime }x_{0}\cdot gx_{0}+fx_{0}\cdot g^{\prime }x_{0}\,\,\,\blacksquare }

Со тоа доказот е завршен.

                                     

3. Случај со повеќе од две функции

Кога веќе го покажавме правилото за две функции, лесно ќе го прошириме на три, четири и повеќе.

Нека се зададени функции f, g, h, k {\displaystyle f,\,g,\,h,\,k\,} и нека претпоставиме дека сите се диференцијабилни во некоја точка x {\displaystyle \ x}. Тогаш имаме:

  • Извод од производ на три функции во точка x {\displaystyle \ x}
f g h ′ = ^{\prime }=f^{\prime }ghk+fghk^{\prime }=f^{\prime }ghk+fg^{\prime }hk+gh^{\prime }k+ghk^{\prime }=} f ′ g h k + f g ′ h k + f g h ′ k + f g h k ′ {\displaystyle \ f^{\prime }ghk+fg^{\prime }hk+fgh^{\prime }k+fghk^{\prime }}
                                     
  • Оваа статија подетално се занимава со поимот Извод од количник на функции. Околу дефиницијата на поимот извод на функција, видете ја статијата Диференцијално
  • статијата Теореми за средна вредност. Интегрално сметање Извод од производ Извод од количник Извод од состав Гранична вредност на функција Пресликување
  • Оваа статија подетално се занимава со поимот Извод на сложена функција. Околу дефиницијата на поимот извод на функција, видете ја статијата Диференцијално
  • Оваа статија подетално се занимава со поимот Извод на имплицитна функција. Околу дефиницијата на поимот извод на функција, видете ја статијата Диференцијално
  • бруто - домашен производ БДП вредноста на крајните стоки и услуги во земјата во текот на една година Доларските проценки на БДП на страницава се добиени од пресметките
  • функција е симетрична во однос на y - оската. Во контекст каде што е дефиниран, извод на една функција ја мери брзината на промена на зависно променливата во
  • резултат вредност или извод Операциите може да имаат помалку или повеќе од два аргумента. Операцијата ω е функција од обликот ω : V Y, каде V
  • фактот дека извод од ln x е 1 x. Десната страна на оваа равенка може да служи како дефиниција на природен логаритам. Формулите за производ и степен на
  • кои во најопшта смисла ги поврзуваат својствата на функциите и нивниот извод Преку овие теореми, најчесто, се врши практичната примена на диференцијалното
  • Апроксимацијата се задава како конечна сума од полиноми составена од изрази при што секој собирок од сумата зависи од некој извод на почетната функција. Доколку сумирањето
  • семејство на методи за φ - сумирање од коишто сите даваат сума еднаква на  1 4: Ако φ x е функција чијшто прв и втор извод се непрекинато интеграбилни во

Users also searched:

екстремни вредности на функција,

...
...
...