Топ-100
Back

ⓘ Интегрирање со смена на променливата, во математиката т.е. интегралното сметање еден од основните методи за решавање на интеграли. Ова правило допушта, т.е. ги ..




                                     

ⓘ Интегрирање со смена на променливата

Интегрирање со смена на променливата, во математиката т.е. интегралното сметање еден од основните методи за решавање на интеграли. Ова правило допушта, т.е. ги дава потребните услови под кои, слично како кај лимес на функција, може да се изврши смена на променливата во определен интеграл. Заедно со методот на интегрирање по делови, овој метод е едно од двете најнужни тврдења кои треба да се познаваат при решавањето на интегралите.

                                     

1. Формална дефиниција

Нека A ⊆ R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } е интервал и нека е дефинирана непрекината функција: f: A → R {\displaystyle f:A\to \mathbb {R} } и нека ϕ: ^{\prime }=F^{\prime }\phi x)\phi ^{\prime }x=f\phi x)\phi ^{\prime }x}

Тогаш според формилата на Њутн-Лајбниц имаме:

∫ a b f ϕ x) ϕ ′ x d x = F ϕ x) | a b = F x | ϕ a ϕ b = ∫ ϕ a ϕ b f x d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f\phi x)\phi ^{\prime }x\,dx=F\phi x)|_{a}^{b}=Fx|_{\phi a}^{\phi b}=\int _{\phi a}^{\phi b}fx\,dx}
                                     

2. Пример

  • Да се пресмета интегралот: ∫ 1 2 ln ⁡ x d x {\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {\ln {x}}{x}}\,dx}

Ќе ја воведеме смената: t = ln ⁡ x {\displaystyle t=\ln {x}}. Следствено имаме: d t = 1 x d x {\displaystyle dt={\frac {1}{x}}dx} и за смената на границите: x = 1 ⇒ t = ln ⁡ 1 {\displaystyle x=1\Rightarrow t=\ln {1}} и x = 2 ⇒ t = ln ⁡ 2 {\displaystyle x=2\Rightarrow t=\ln {2}}

Сега "настапува" смената. Еве што всушност правиме:

односно добиваме:

∫ 1 2 ln ⁡ x d x = ∫ ln ⁡ 1 ln ⁡ 2 t d t = t 2 | ln ⁡ 1 ln ⁡ 2 = 1 2 ln 2 ⁡ 2 − ln 2 ⁡ 1 = ln 2 ⁡ 2 {\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {\ln {x}}{x}}\,dx=\int _{\ln {1}}^{\ln {2}}t\,dt={\frac {t^{2}}{2}}|_{\ln {1}}^{\ln {2}}={\frac {1}{2}}\ln ^{2}{2}-\ln ^{2}{1}={\frac {\ln ^{2}{2}}{2}}}
                                     
  • во кои вредноста на функцијата можеше директно да се пресмета од произволно зададена вредност на променливата односно вредноста на функцијата беше експлицитно
  • изразување на законот. Воопшто, не може да се изврши смена меѓу различните променливи облици на Планковиот закон со едноставна замена на променливата со друга

Users also searched:

...