Топ-100
Back

ⓘ Е, број. e - математичка константа, приближно еднаква на 2.71828, и единствен реален број, чијашто функција e x има иста вредност на наклонот на тангентата за с ..




                                               

Вреж (Немањици)

Вреж - археолошко наоѓалиште во светиниколското село Немањици. Претставува населба од неолитско време. На 4.5 км североисточно од селото, од двете страни на асфалтниот пат Немањици - Св. Николе, во нивата на Д. Јосев и лозјето на Б. Танчев се среќава голем број фрагменти од керамички садови, типолошки слични на керамиката од Алин Дол, односно Барутница во Амзабегово.

                                               

Градиште (Немањици)

Градиште - археолошко наоѓалиште во светиниколското село Немањици. Претставува утврдена населба од железно време. Претставува голема височинка што се издига над левиот брег на реката Мавровица, оддалечена 2.5км југоисточно од селото. На врвот има зарамнето плато со површина од околу 300 Х 150 м, на кое има грамади од камен и голем број фрагменти од керамички садови со груба фактура. Веројатно на оваа населба припаѓаат гробовите од наоѓалиштето Ветрен, кој лежи во подножјето на Градиште.

Е (број)
                                     

ⓘ Е (број)

e - математичка константа, приближно еднаква на 2.71828, и единствен реален број, чијашто функција e x има иста вредност на наклонот на тангентата за сите вредности на x. Појасно, единствените функции, кои се еднакви на сите свои изводи се во облик Ce x, каде C е константа. Функцијата e x е наречена експоненцијална функција и нејзината инверзна функција е природниот логаритам или логаритам со основа e. Бројот e обично е дефиниран како основа на природниот логаритам како гранична вредност на секоја низа или како збир на сите редови.

Бројот e е еден од најважните броеви во математиката, паралелно со додатните и мултипликативни идентитети 0 и 1, константата π и имагинарната единица i.

Бројот e понекогаш се нарекува "Ојлеров број", по името на швајцарскиот математичар Леонард Ојлер. e не треба да се меша со γ – Ојлер-Маскерониевата константа - понекогаш наречена Ојлерова константа.

Бројот e е трансцендентен и поради тоа ирационален, односно неговата вредност не може да се пресмета во ограничен број на децимали или, пак, во децимали кои се повторуваат. Бројчената вредност на e, заокружена на 20 децимали е 2.71828 18284 59045 23536….

                                     

1. Историја

Првите знаци за појавата на бројот се појавиле во 1618 во табелата со додатоци од работа на логаритмите од страна на Џон Непер. И покрај тоа, ова не ја содржело константата, туку едноставно список на природни логаритми пресметани од константата. Се смета дека табелата била напишана од Вилијам Отред. "Откривањето" на константата му се припишува на Јакоб Бернули, кој се обидел да ја најде вредноста на следниот израз што всушност е e:

lim n → ∞ 1 + 1 n n. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left1+{\frac {1}{n}}\right^{n}.}

Првата позната примена на константата, претставена со буквата b била во дописот од Готфрид Лајбниц до Кристијан Хајгенс во 1690 и 1691. Леонард Ојлер започнал да ја употребува буквата e за ознака на константата во 1727 година и првата употреба на буквата e била во Ојлеровата Механика 1736. Додека во следните години некои истражувачи ја употребувале буквата c, буквата e била повообичаена и станала стандардна ознака на бројот.

                                     

2.1. Примена Проблемот на сложена камата

Јакоб Бернули ја открил константа, анализирајќи го прашањето за сложената камата.

Еден прост пример е пресметката, која започнува со $1.00, за кој се плаќа 100% камата годишно. Ако каматата се плаќа еднаш на крајот од годината, тогаш сумата која треба да се плати е $2.00; но ако каматата се пресметува двапати во годината, сумата од еден $1 се множи двапати со 1.5, односно $1.00×1.5² = $2.25. Доколку камата се пресметува квартално, тогаш $1.00×1.25 4 = $2.4414…, а ако тоа се пресметува секој месец, $1.00×1.0833… 12 = $2.613035….

Бернули открил дека граничната вредност на низата сложени камати за сè помали интервали расте со помал интензитет. Вкаматувањето неделно изнесува $2.692597…, додека дневно $2.714567…. Доколку бројот на интервали на вкаматувањето е n, со камата од 1/ n во секој интервал, тогаш граничната вредност е број кој е еднаков на e, односно со континуиран раст вредноста којашто се достигнува е $2.7182818…. Поедноставно, доколку вкаматувањето започнува од $1, а се враќаат 1+ R долари со проста камата, тогаш со континуелно вкаматување ќе се пресметаат e R долари.

                                     

2.2. Примена Бернулиевите обиди

Бројот e има примена и во теоријата на веројатност, каде расте на начин кој очигледно не е поврзан со експоненциојалниот пораст. Да претпоставиме дека комарџија игра на машина која исплаќа со веројатност од еден од n и игра n пати. Тогаш, за поголема вредност, на n на пр. милион веројатноста дека комарџијата нема да добие ништо е отприлика 1⁄ e.

Ова е пример од Бернулиевите обиди. Секој пат кога комарџијата ќе се реши да игра, шансата за добивка е еден во милион. Играјќи милион пати, според биномната распределба, која е поврзана со биномната теорема. Веројатноста да се добие k пати од милион обиди е;

10 6 k 10 − 6 k 1 − 10 − 6 10 6 − k. {\displaystyle {\binom {10^{6}}{k}}\left10^{-6}\right^{k}1-10^{-6}^{10^{6}-k}.}

Впрочем, веројатноста да се добие 0 пати k =0 е

1 − 1 10 6 10 6. {\displaystyle \left1-{\frac {1}{10^{6}}}\right^{10^{6}}.}

Ова е поврзано со граничната вредност на 1⁄ e:

1 e = lim n → ∞ 1 − 1 n n. {\displaystyle {\frac {1}{e}}=\lim _{n\to \infty }\left1-{\frac {1}{n}}\right^{n}.}


                                     

2.3. Примена Дисмутации

Друга примена на e е исто така откриена од Јакоб Бернули, но заедно со Пјер Ремон де Монмор и претставува проблем на дисмутации, познат и како проблем на проверка на капата. Овде, n гости се повикани на забава и пред вратата секој гостин ја проверува капата со домаќинот, кој потоа ги става во обележани кутии. Но, домаќинот не го знае името на гостинот, па мора да ги стави во случајно одбрани кутии. Проблемот на Де Монмор е: која е веројатноста дека ниту една од капите не е ставена во вистинската кутија. Одговорот е:

p n = 1 − 1 1! + 1 2! − 1 3! + ⋯ + − 1 n 1 n!. {\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +-1^{n}{\frac {1}{n!}}.}

Како што бројот на гости n се движи кон бесконечност, p n се стреми кон 1 ⁄ e. Освен тоа, бројот на начини капите да се ставени во кутиите, така што ниту една од капите да не е ставена во вистинската кутија е точно n! ⁄ e, заокружено на најблискиот цел број.

                                     

2.4. Примена Асимптотска анализа

Бројот e природно се појавува во поврзаноста со многу проблеми, вклучувајќи ги и оние во асимптотската анализа. Познат пример е Стирлинговата формула за пресметување на факториел на многу големи броеви, во која се употребуваат и бројот e и π:

n! ∼ 2 π n e n. {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,{\frac {n^{n}}{e^{n}}}.} Од ова следува дека e = lim n → ∞ n n! n. {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt{n!}}}.}
                                     

3. e во анализата

Основно образложение за воведување на бројот e во математичката анализа е за да може да се олесни пресметувањето на изводи и интеграли од експоненцијални функции и логаритми. Типичната експоненцијална функција y = a x има извод, претставен како асимптотска вредност:

d x a x = lim h → 0 a x + h − a x h = lim h → 0 a x a h − a x h = a x lim h → 0 a h − 1 h. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}=a^{x}\left\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right.}

Асимптотската вредност на десната страна е независна од променливата x: таа зависи само од основата a. Кога основата е e, оваа асимптотска вредност е еднаква на 1, па e симболички се претставува со равенството:

d x e x = e x. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}

Како последица на ова, експоненцијалната функција со основа e особено се применува во математичката анализа. Избирајќи го бројот e, наместо некој друг број од експоненцијалните функции, пресметките за добивање на извод стануваат многу полесни.

Друго образложение доаѓа од разгледувањето на логаритам со основа a. Разгледувањето на дефиницијата за извод од log a x како асимптотска вредност:

d x log a ⁡ x = lim h → 0 log a ⁡ x + h − log a ⁡ x h = 1 x lim u → 0 1 u log a ⁡ 1 + u), {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}x=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}x+h-\log _{a}x}{h}}={\frac {1}{x}}\left\lim _{u\to 0}{\frac {1}{u}}\log _{a}1+u\right),}

каде замената u = h / x е направена во последниот чекор. Последното појавување на асимптотска вредност во оваа пресметка е повторно неопределена асимптотска вредност, која зависи само од основата a и ако основата е e, тогаш асимптотска вредност е еднаква на 1. Симболично,

d x log e ⁡ x = 1 x. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.}

Логаритмот со основа е наречен природен логаритам, кој често се обележува со "ln" и често се однесува на диференцијацијата, додека нема недетерминирана асимптотска вредност за време на пресметките.

Има два начини, во кои се претставува a = e. Едниот е да се пресмета извод од експоненцијалната функција a x за a x. Другиот е да се пресмета извод од логаритам од 1/ x со основа a. И во двата случаи доаѓа до соодветен избор на основата за пресметка на изводите. Всушност, овие две основи го содржат бројот e.



                                     

3.1. e во анализата Алтернативни карактеризирања

Поврзано: Претставувања на e

Можни се и други карактеризирања на бројот e: една е асимптотската вредност на низа, другата е збир од редови, а другите се поврзани со интегралите. Одамна биле воведени следните два еквиваленти:

1. Бројот e е единствен позитивен реален број за кој важи

d t e t = e t. {\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{t}=e^{t}.}

2. Бројот e е единствен позитивен реален број за кој важи

d t log e ⁡ t = 1 t. {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\log _{e}t={\frac {1}{t}}.}

Следните три карактеризирања на експоненцијалната функција се еквивалентни:

3. Бројот e е асимптотска вредност

e = lim n → ∞ 1 + 1 n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left1+{\frac {1}{n}}\right^{n}}

Слично:

e = lim x → 0 1 + x 1 / x {\displaystyle e=\lim _{x\to 0}\left1+x\right^{1/x}}

4. Бројот e е збир на редови

e = ∑ n = 0 ∞ 1 n! = 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + ⋯ {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots }

каде n! е факториел од n.

5. Бројот e е единствениот позитивен реален број за кој важи

∫ 1 e 1 t d t = 1 {\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt={1}}.
                                     

4.1. Својства Анализа

Како и во образложението, експоненцијалната функција f x = e x е значајна, бидејќи е единствена нетривијална функција, која има извод еднаков на самата функција.

d x e x = e x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}

и поради тоа нејзиниот неопределен интеграл е:

e x = ∫ − ∞ x e t d t {\displaystyle e^{x}=\int _{-\infty }^{x}e^{t}\,dt} = ∫ − ∞ 0 e t d t + ∫ 0 x e t d t {\displaystyle =\int _{-\infty }^{0}e^{t}\,dt+\int _{0}^{x}e^{t}\,dt} = 1 + ∫ 0 x e t d t. {\displaystyle \qquad =1+\int _{0}^{x}e^{t}\,dt.}
                                     

4.2. Својства Експоненцијална функција

Нека бројот x = e, каде екстремот се појавува за функцијата:

f x = x 1 / x. {\displaystyle fx=x^{1/x}.\,}

Поедноставно, x = n √ e е каде екстремот се појавува за функцијата

f x = x 1 / x n. {\displaystyle \!\ fx=x^{1/x^{n}}.}

Бесконечната тетрација

x ⋅ ⋅ ⋅ {\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}

конвергира само ако e − e ≤ x ≤ e 1/ e, според теоремата на Леонард Ојлер.

                                     

4.3. Својства Теорија на броеви

Реалниот број e е ирационален видете доказ дека e е ирационален број и трансцедентален Линдеман-Ваерштрасова теорема. Тоа е првиот број за кој се докажало дека е трансцедентален без да биде разложуван за таа цел споредба со Лиувиовиот број; доказот бил направен од страна на чарлс Хермит во 1873. Бројот е хипотетички е нормален.

                                     

4.4. Својства Диференцијални равенки

Основната функција

y x = c e x {\displaystyle yx=ce^{x}\,}

е решението на диференцијалната равенка:

y ′ = y. {\displaystyle y=y.\,}
                                     

5. Претставувања

Бројот e може да биде претставен како реален број на различни начини: како бесконечен ред, бесконечен производ, бесконечна дропка или гранична вредност на низа. Основното меѓу овие претставувања, делумно во воведот од математичката анализа е граничната вредност

lim n → ∞ 1 + 1 n n, {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left1+{\frac {1}{n}}\right^{n},}

дадена погоре, како и редот

e = ∑ n = 0 ∞ 1 n! {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}

даден со изведување на редот за e x за x =1.

Можни се и други понеобични претставувања. На пример, e може да биде претставен како бесконечна дропка:

e = 2 + 1 + 1 2 + 1 + 1 + 1 4 + 1 ⋱ {\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1},}

тогаш очекувањето за U е e: E U = e {\displaystyle EU=e}. Освен тоа, едноставниот просек на U променливите е отприлика e.

                                     

5.1. Претставувања Познати децимали

Бројот на познати децимали на e драматично се зголемувал во последните неколку декади. Ова е поради подобрувањето на можностите на компјутерите, како и на напредокот на алгоритмите.

                                     

6. Информатичка технологија

Во современата интернет култура, поединци и организации имаат почит кон бројот e.

На пример, во IPO картотеката за Google, во 2004, наместо некој стандарден број на пари, компанијата ја соопшти својата намера да достигне $2.718.281.828, што се e милијарда долари. Компанијата Google беше одговорна и за мистериозната рекламна табла која се појави во срцето на Силиконската Долина, а подоцна и во Кембриџ, Масачусетс; Сиетл, Вашингтон; и Остин, Тексас. Можеше да се прочита {first 10-digit prime found in consecutive digits of e }.com. Решавањето на овој проблем и посетувањето на рекламираното мрежно место водело до уште поголем проблем, којшто води до лабораториите на Google, каде посетителот е повикан да поднесе резиме. Првите 10 децимали на бројот e се 7427466391, ред што започнува и од 99-тата децимала

Во друг пример, еминентниот информатичар Доналд Кнут пуштил верзија на броеви на својот програм METAFONT пристапувајќи до e. Верзиите се 2, 2.7, 2.71, 2.718 итн.



                                     

7. Надворешни врски

  • An Intuitive Guide To Exponential Functions & e
  • Earliest Uses of Symbols for Constants
  • "The story of e ", by Robin Wilson at Gresham College, 28 февруари 2007 available for audio and video download
  • The number e to 1 million places and 2 and 5 million places
  • Class Library for Numbers part of the GiNaC distribution includes example code for computing e to arbitrary precision.
  • e the EXPONENTIAL - the Magic Number of GROWTH - Keith Tognetti, University of Wollongong, NSW, Australia
                                     
  • Повикувачки број или предброј е низа од од броеви што се избираат за да се воспостави телефонска врска помеѓу две места или две држави. Повикувачкиот број обично
  • CAS - број англ. CAS registry number, CAS RN - единствена бројчен назнака на Службата за хемиски изводи Chemical Abstracts Service, CAS за секоја хемикалија
  • природните броеви е повторно природен број додека разликата и количникот не секогаш се природен број За еден природен број n велиме дека е деллив со друг
  • Оваа статија е за концептот број во математика. За број во лингвистика, види граматички број Број - апстрактен објект што се користи за обележување на
  • квантен број е 4 - от од комплетот на квантни броеви главниот квантен број орбиталниот квантен број магнетниот квантен број и спиновиот квантен број коишто
  • 5 пет - број и име на глифот што го претставува тој број Тој е природни број што следи после бројот 4, а претходник е на бројот 6. Драган Димитровски
  • Оксидациониот број или состојба е број со помош на кој полесно се објаснуваат процесите на оксидација и редукција. Неговите вредности се добиваат во зависност
  • 7 седум - број и име на глифот што го претставува тој број Тој е природен број што следи после бројот 6, а претходник е на бројот 8. Драган Димитровски
  • 0 нула - број и име на глифот што го претставува тој број Тој е цел број што следи после бројот - 1, а претходник е на бројот 1. Matson, John 21 August
  • 200 двесте - број и име на глифот што го претставува тој број Тој е природен број што следи после бројот 199, а е претходник на бројот 201. Драган
  • Ознака за атомскиот број е Z. Атомскиот број се запишува како горен лев индекс на пример, кај кислородот, редниот број му е 8, т. е има 8 протони: 8O
Карденолид
                                               

Карденолид

Карденолид е соединение од групата стероиди. Голем број на растенија содржат негови деривати познати како карденолиди, вклучувајќи ги и карденолидните гликозиди.

                                               

Список на долгопериодични комети

Ова е список на комети со многу долги орбитални периоди. Овие комети доаѓаат од Кајперовиот Појас и расеаниот диск, подалеку од орбитата на Плутон. Многу од нив водат можно потекло од Ортовиот Облак.

Users also searched:

t mobile internet paketi,

...
...
...